Funksione kuadratike(Trajta e Pёrgjithshme)

Duke pёrdorur kёtё applet mund tё zbuloni edhe lidhjen midis prerjeve midis boshtit x dhe grafikut tё njё funksioni kuadratik f(x) me zgjidhjet e ekuacionit pёrkatёs kuadratik f(x) = 0. Kjo lidhje zbulohet duke ndryshuar vlerat e 3 koeficientёve a, b dhe c qё futen nё pёrcaktimin e funksionit f(x).

Pasi tё mbaroni kёtё instruktim, mund tё shkoni te Praktikё mbi funksionet kuadratike dhe ndёrtimi i grafikut tё funksioneve kuadratike.

Shembuj tё funksioneve kuadratikё

1. f(x) = -2x ² + x - 1
2. f(x) = x ² + 3x + 2

Mёsim Interaktiv (1)

Eksploroni funksionet kuadratike nё mёnyrё interaktive duke pёrdorur applet-in qё shfaqet mё poshtё shtyp butonin "vizato" pёr tё filluar

• Pёrdor kutitё e panelit tё majtё tё dritares sё applet-it pёr tё vendosur vlerat e koeficientёvea, b dhe c sipas vlerave tё shembujve tё mёsiprm, shtyp 'vizato' dhe shiko grafikun qё del. Vini re se grafiku i korespondon rastit a) kur parabola ёshtё e hapur poshtё meqё koeficienti a ёshtё negativ dhe grafiku i korespondon rastit b) kur parabola ёshtё e hapur lart koeficienti a ёshtё positiv. Ju mund t'i ndryshoni vlerat e koeficientёve a, b dhe c dhe tё shikoni grafikёt e pёrftuar.
  
  

  Pёrgjigjet

• Jepet funksioni f(x)
  f(x) = ax ² + bx + c
  
  
• nxjerrim si faktor koeficientin a nё termat me x ² dhe me x
  
  f(x) = a ( x ² + (b / a) x ) + c
  
  
• shtojmё dhe zbresim (b / 2a) ² brenda kllapave
  f(x) = a ( x ² + (b/a) x + (b/2a) ² - (b/2a) ² ) + c
  
  
• Vёrejmё se
  x ² + (b/a) x + (b/2a) ²
  
  
• mund tё shkruhet si
  (x + (b/2a)) ²
  
  
• Shkruajmё tani f si
  f(x) = a ( x + (b / 2a) ) ² - a(b / 2a) ² + c
  
  
• e cila mund tё shkruhet si
  f(x) = a ( x + (b / 2a) ) ² - (b ² / 4a) + c
  
  
• Kjo ёshtё forma standarte e njё funksioni kuadratik me
  h = - b / 2a
  k = c - b ² / 4a
  
  

• Jepet funksioni
  f(x) = -2 x ² + 4x + 1
  
  
• faktorizoni -2
  f(x) = -2(x ² - 2 x) + 1
  
  
• Pjestojmё koeficientin e x i cili ёshtё -2 me 2 dhe kjo jep -1.
  f(x) = -2(x ² - 2x + (-1) ² - (-1) ²) + 1
  
  
• shto dhe zbrit (-1) ² brenda kllapave
  f(x) = -2(x ² - 2x + (-1) ²) + 2 + 1
  
  
• grupo termat dhe shkruaj nё formё standarte
  f(x) = -2(x - 1) ² + 3
  
  
• Kjo jep h = 1 and k = 3.
  
  
• h dhe k mund tё gjenden gjithashtu edhe duke pёrdorur formulat pёr h dhe k tё pёrftuara mё lart.
  h = - b / 2a = - 4 / (2(-2)) = 1
  
  k = c - b ² / 4a = 1 - 4 ²/(4(-2))= 3
  
  
• Kulmi i grafikut ёshtё nё (1,3).
  
  

• Kthehu mbrapsht te dritarja e applet-it dhe te a vendos -2, te b vendos 4 dhe te c vendos 1 (vlerat e pёrdorura nё shembullin mё lart). Shiko qё grafiku hapet poshtё (a < 0) dhe qё kulmi ёshtё nё pikё (1,3) dhe ёshtё njё pikё maksimumi.


• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё vendosur te a vlerёn 1, te b vlerёn -2 dhe te c vlerёn 0, f(x) = x ² - 2 x. Shiko se si grafiku hapet lart (a > 0) dhe qё kulmi ёshtё nё pikёn (1,-1) dhe ёshtё njё minimum.

1. f(x) = x ² + 2 x - 3
2. g(x) = -x ² + 2 x - 1
3. h(x) = -2 ² + 2 x - 2

1. Pёr tё gjetur prerjet me boshtin x , zgjidhim ekuacionin
   
   x ² + 2 x - 3 = 0
   
   dallori D = 2 ² - 4 (1)(-3) = 16
   
   dy zgjidhjet reale janё:
   x₁ = (-2 + √16) / (2 * 1) = 1
   dhe
   x₂ = (-2 - √16) / (2 * 1) = -3
   
   Grafiku i funksionit tё a) ka dy pikёprerje me boshtin x qё janё pikat(1,0) dhe (-3,0).
   
   
2. Zgjidhim ekuacionin: -x ² + 2 x - 1 = 0
   
   dallori D = 2 ² - 4(-1)(-1) = 0
   
   ka njё zgjidhje reale tё dyfishtё ₁x₂ = -b / 2a = -2 / -2 = 1
   
   Grafiku i funksionit tё rastit b) ka vetёm njё pikёprerje me boshtin x nё pikёn (1,0).
   
   
3. Zgjidhim ekuacionin -2 x ² + 2 x - 2 = 0
   
   dallori D = 2 ² - 4(-2)(-2) = -12
   
   Nuk ka zgjidhje reale pёr ekuacionin e mёsipёrm
   
   Grafiku i funksionit tё rastit c) nuk e pret boshtin x.
   
   

• Shko te dritarja e applet-it dhe vendos vlerat e a-sё, b-ё dhe c-ё pёr secilin nga shembujt: a), b) dhe c) mё lart dhe kontrollo dallorin si dhe piёprerjet e grafikut pёrkatёs me boshtin e x-ve.
• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё gjetur çdo pikёprerje me boshtin x pёr funksionet e mёposhtme kuadratike.
  a) f(x) = x ² + x - 2
  b) g(x) = 4 x ² + x + 1
  a) h(x) = x ² - 4 x + 4
  Pёrdor metodёn analitike tё pёrshkruar nё shembujt e mёsipёrm pёr tё gjetur prerjet me boshtin x dhe krahaso rezultatet.
• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё vendosur te a, b dhe c vlera tё tilla qё b ² - 4 a c < 0. Sa pikёprerje me boshtin x ka grafiku i f(x) ?
• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё vendosur te a, b dhe c vlera tё tilla qё b ² - 4 a c = 0. Sa pikёprerje me boshtin x ka grafiku i f(x) ?
• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё vendosur te a, b dhe c vlera tё tilla qё b ² - 4 a c > 0. Sa pikёprerje me boshtin x ka grafiku i f(x) ?

Pёrgjigjet

1. f(x) = x ² + 2 x - 3
2. g(x) = 4 x ² - x + 1
3. h(x) = -x ² + 4 x + 4

1. f(0) = -3. Grafiku i f ka njё prerje me boshtin y nё pikёn (0,-3).
   
2. g(0) = 1. Grafiku i f ka njё prerje me boshtin y nё pikёn (0,1).
   
3. h(0) = 4. Grafiku i f ka njё prerje me boshtin y nё pikёn (0,4).

• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё kontrolluar prerjet me boshtin y pёr funksionet kuadratike tё shembullit tё mёsipёrm.
• Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё kontrolluar se boshti y e pret grafikun nё pikёn (0,c) pёr vlera tё ndryshme tё c.

Pёr mё shumё mbi funksionet kuadratike shiko temat:

• Korespondo Funksione kuadratike me grafiket.



• Gjej kulmin dhe pikёprerjet me boshtet x dhe y te grafiku i Funksionit kuadratik



• Praktikё mbi Funksionet Kuadratike (1)
  
  
• Problema mbi Funksionet Kuadratike.
  
  
• Ndёrtimi i grafikunt tё funksioneve kuadratike .
  
  
• Funksionet kuadratike nё formё standarte .